Une équation ressemble à une balance précise dans le monde mathématique. Résoudre une équation est en réalité un art de « préserver l'équilibre ». Notre objectif est clair : par des opérations licites, simplifier progressivement les expressions algébriques entrelacées, jusqu'à ce qu'un seul inconnu $x$ reste d'un côté de la balance, tandis que l'autre côté révèle sa valeur réelle.
Les deux propriétés fondamentales des équations
Pour transformer une équation sans altérer son équilibre, nous devons suivre deux règles essentielles :
- Propriété 1 (conservation du déplacement) : Ajouter (ou soustraire) le même nombre (ou expression) aux deux membres d'une équation donne toujours un résultat égal. Cela revient à ajouter ou retirer des poids identiques aux deux plateaux d'une balance, et sert habituellement à « éliminer » les termes constants superflus.
- Propriété 2 (conservation de proportion) : 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。这用于调整未知数的系数，让它变回最纯粹的 1。
Souvenez-vous : résoudre une équation consiste à la transformer progressivement en la forme $x = a$. La propriété 1 s'applique aux additions et soustractions, la propriété 2 aux multiplications et divisions. L'objectif est toujours de faire apparaître $x$ dans sa forme originale !
Formule clé : si $a = b$, alors $a \pm c = b \pm c$ ; si $a = b$, alors $ac = bc$ et $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (avec $c \neq 0$).
1. Rassemblez les termes du polynôme : un carré $x^2$, trois bandes rectangulaires $x$, et deux petits carrés unités $1 \times 1$.
2. Commencez l'assemblage géométrique.
3. Ils s'assemblent parfaitement pour former un grand rectangle continu ! Sa largeur est $(x+2)$, sa hauteur est $(x+1)$.
QUESTION 1
En utilisant les propriétés des équations, quelle est la première étape la plus appropriée pour résoudre l'équation $x - 5 = 6$ ?
Soustraire 5 des deux côtés de l'équation
Ajouter 5 des deux côtés de l'équation
Multiplier les deux côtés de l'équation par 5
Diviser les deux côtés de l'équation par 6
Correct !
D'après la propriété 1 des équations, pour éliminer le $-5$ du côté gauche, nous devons ajouter 5 des deux côtés. On obtient $x - 5 + 5 = 6 + 5$, soit $x = 11$.Indice : observez le côté gauche. Nous devons annuler le $-5$. Quelle opération transforme $-5$ en $0$ ?
QUESTION 2
En utilisant les propriétés des équations, résolvez l'équation $0.3x = 45$ et trouvez la valeur de $x$ :
$13,5$
$15$
$150$
$1 ext{ }500$
Excellent !
En appliquant la propriété 2 des équations, divisez les deux côtés par $0,3$ : $\frac{0,3x}{0,3} = \frac{45}{0,3}$, ce qui donne $x = 150$.N'oubliez pas de diviser les deux côtés par le coefficient $0,3$. Faites attention à la position de la virgule : $45 \div 0,3 = 450 \div 3$.
QUESTION 3
Comment procéder pour résoudre l'équation $5x + 4 = 0$ ?
Soustraire 4 des deux côtés, puis diviser par 5
Ajouter 4 des deux côtés, puis diviser par 5
Diviser les deux côtés par 5, puis soustraire 4
Multiplier les deux côtés par 5, puis soustraire 4
Logique impeccable !
Première étape : propriété 1, soustrayez 4 des deux côtés, on obtient $5x = -4$ ; deuxième étape : propriété 2, divisez les deux côtés par 5, on obtient $x = -0,8$.Traitez d'abord les termes constants ! Faites disparaître les termes constants avant de traiter le coefficient de l'inconnu.
QUESTION 4
En utilisant les propriétés des équations, résolvez l'équation $2 - \frac{1}{4}x = 3$ et trouvez la solution :
$x = 4$
$x = -4$
$x = 20$
$x = -20$
Tout à fait correct !
Soustrayez 2 des deux côtés, on obtient $-\frac{1}{4}x = 1$ ; multipliez ensuite les deux côtés par $-4$ (ou divisez par $-\frac{1}{4}$), on obtient $x = -4$.Faites attention au signe négatif ! Après avoir soustrait 2, on obtient $-\frac{1}{4}x = 1$. Pour obtenir $x$, par quel nombre devez-vous multiplier ?
QUESTION 5
Exprimez en équation l'énoncé « le nombre qui est 5 de plus que $a$ est égal à 8 » :
$a - 5 = 8$
$5a = 8$
$a + 5 = 8$
$a + 8 = 5$
Exactement !
« Plus que... » correspond à l'addition, donc c'est $a + 5$, « égal à » correspond au signe égal.Indice clé : « plus 5 » signifie une opération d'addition.
QUESTION 6
Exprimez en équation l'énoncé « le tiers de $b$ est égal à 9 » :
$\frac{1}{3}b = 9$
$3b = 9$
$b + \frac{1}{3} = 9$
$b - 3 = 9$
Correct !
« ... le tiers » indique généralement une relation de multiplication, soit $\frac{1}{3} \times b = 9$.L'expression fractionnaire correspond généralement à une multiplication. La fraction de $b$ est cette fraction multipliée par $b$.
QUESTION 7
Exprimez en équation l'énoncé « la somme du double de $x$ et de 10 est égale à 18 » :
$2x - 10 = 18$
$x^2 + 10 = 18$
$2x + 10 = 18$
$2(x + 10) = 18$
Correct !
Le double correspond à $2x$, la somme correspond à $+$, donc c'est $2x + 10 = 18$.Attention à l'ordre des opérations : calculez d'abord le double, puis la somme.
QUESTION 8
Exprimez en équation l'énoncé « la différence entre le tiers de $x$ et $y$ est égale à 6 » :
$\frac{1}{3}x - y = 6$
$\frac{1}{3}(x - y) = 6$
$3x - y = 6$
$x - \frac{1}{3}y = 6$
Correct !
Calculez d'abord le tiers de $x$, puis soustrayez $y$ de ce résultat.Lisez attentivement : il s'agit de « le tiers de $x$ » diminué de $y$, et non de « un tiers » multiplié par « la différence ».
QUESTION 9
Problème de plantation : si chaque personne plante 10 arbres, il en reste 6 ; si chaque personne plante 12 arbres, il en manque 6. Soit $x$ le nombre de personnes. Écrivez l'équation basée sur l'égalité du nombre total de plants :
$10x - 6 = 12x + 6$
$10x + 6 = 12x - 6$
$\frac{x}{10} + 6 = \frac{x}{12} - 6$
$10(x + 6) = 12(x - 6)$
Modélisation parfaite !
« Il en reste 6 » signifie que le total dépasse le nombre planté, soit $10x + 6$ ; « il en manque 6 » signifie que le total est inférieur au nombre souhaité, soit $12x - 6$. Ces deux quantités sont égales.Pensez-y : comment ajoute-t-on les 6 arbres en trop ? Comment retranche-t-on les 6 arbres manquants ? Le total reste inchangé.
QUESTION 10
Problème d'ascension : Zhang Hua part à $10$ m/min, 30 minutes d'avance ; Li Ming part à $15$ m/min. Si les deux atteignent le sommet en même temps, soit $t$ le temps en minutes utilisé par Li Ming. Quelle est l'équation ?
$15t = 10(t - 30)$
$15t = 10(t + 30)$
$15(t + 30) = 10t$
$\frac{t}{15} = \frac{t + 30}{10}$
Excellent !
Les deux atteignent la même altitude. Li Ming met $t$ minutes, Zhang Hua ayant commencé en premier, il met donc plus de temps, soit $(t + 30)$ minutes. En appliquant la formule vitesse × temps = distance, on obtient $15t = 10(t + 30)$.Faites attention au temps : qui a mis plus de temps ? Celui qui est parti en premier a mis plus de temps.
Défi : l'art de l'équivalence dans les problèmes concrets
Mise en pratique de la modélisation et des propriétés des équations
Dans les problèmes concrets, le signe égal relie non seulement des nombres, mais aussi la conservation de grandeurs physiques. Pratiquons ensemble, à travers deux exemples classiques, la création et la résolution d'équations.
Cas 1
Schéma de distribution des arbres : Plusieurs personnes plantent ensemble un lot d'arbres. Si chacun en plante 10, il en reste 6 non plantés ; si chacun en plante 12, il en manque 6. Trouvez le nombre de personnes impliquées.
Étapes détaillées :
1. Soit : Soit $x$ le nombre de personnes participant à la plantation.
2. Établir : Le nombre total de plants est constant. Dans le premier plan, le total est $10x + 6$ ; dans le second, il est $12x - 6$. Établissons l'équation : $10x + 6 = 12x - 6$.
3. Résoudre :
Soustrayez $10x$ des deux côtés (propriété 1) : $6 = 2x - 6$
Ajoutez $6$ des deux côtés (propriété 1) : $12 = 2x$
Divisez les deux côtés par $2$ (propriété 2) : $x = 6$
4. Réponse : Le nombre de personnes participant à la plantation est de 6.
1. Soit : Soit $x$ le nombre de personnes participant à la plantation.
2. Établir : Le nombre total de plants est constant. Dans le premier plan, le total est $10x + 6$ ; dans le second, il est $12x - 6$. Établissons l'équation : $10x + 6 = 12x - 6$.
3. Résoudre :
Soustrayez $10x$ des deux côtés (propriété 1) : $6 = 2x - 6$
Ajoutez $6$ des deux côtés (propriété 1) : $12 = 2x$
Divisez les deux côtés par $2$ (propriété 2) : $x = 6$
4. Réponse : Le nombre de personnes participant à la plantation est de 6.
Cas 2
Course à l'ascension : Zhang Hua et Li Ming gravissent une montagne. Zhang Hua monte à $10$ m/min et part 30 minutes d'avance ; Li Ming monte à $15$ m/min, et les deux atteignent le sommet en même temps. Quelle est la hauteur de la montagne en mètres ?
Étapes détaillées :
1. Soit : Soit $t$ le temps en minutes utilisé par Li Ming pour atteindre le sommet, alors Zhang Hua met $(t + 30)$ minutes.
2. Établir : La hauteur est la même. $15t = 10(t + 30)$.
3. Résoudre :
Développez le côté droit : $15t = 10t + 300$
Soustrayez $10t$ des deux côtés (propriété 1) : $5t = 300$
Divisez les deux côtés par $5$ (propriété 2) : $t = 60$
4. Calcul : La hauteur de la montagne est $15 \times 60 = 900$ m.
5. Réponse : La hauteur de la montagne est de 900 mètres.
1. Soit : Soit $t$ le temps en minutes utilisé par Li Ming pour atteindre le sommet, alors Zhang Hua met $(t + 30)$ minutes.
2. Établir : La hauteur est la même. $15t = 10(t + 30)$.
3. Résoudre :
Développez le côté droit : $15t = 10t + 300$
Soustrayez $10t$ des deux côtés (propriété 1) : $5t = 300$
Divisez les deux côtés par $5$ (propriété 2) : $t = 60$
4. Calcul : La hauteur de la montagne est $15 \times 60 = 900$ m.
5. Réponse : La hauteur de la montagne est de 900 mètres.
✨ Points clés
Des deux côtés de l'équationajoutez ou soustrayez, la main de l'équilibrereste toujours inchangée.multipliez ou divisez par un nombre non nuldes deux côtés, le terme contenant l'inconnuedevient libre.éliminez les termes constants,réduisez le coefficient,équation linéairedevient facile!
💡 La ligne rouge de la propriété 2
Lors de la transformation par division selon la propriété 2, assurez-vous que le diviseur n'est pas nul. En algèbre, soyez particulièrement prudent si vous divisez par une expression contenant une inconnue.
💡 Règle d'élimination
La propriété 1 correspond à l'« élimination » des termes d'addition/soustraction (base du déplacement de termes), la propriété 2 correspond à la « réduction du coefficient à 1 ». On procède généralement d'abord par addition/soustraction, puis par multiplication/division.
💡 Vérifier est une excellente habitude
Après avoir trouvé $x$, remplacez-le dans les deux membres de l'équation initiale. Si les deux côtés sont égaux, cela signifie que vos opérations sur la balance sont correctes !
💡 Approche globale
Dans la propriété 1, $c$ peut être un nombre ou une expression algébrique complexe. Tant que les opérations effectuées des deux côtés sont identiques, l'équilibre ne sera pas rompu.
💡 Les unités doivent être cohérentes
Lorsqu'on établit une équation pour résoudre un problème concret, vérifiez impérativement que toutes les grandeurs ont les mêmes unités (par exemple minutes vs heures, mètres vs kilomètres).